Se ha especulado en numerosas ocasiones, con las medidas de las distintas
pirámides de Egipto y principalmente con las de la Gran Pirámide de Jufu (Keops).
Entre esas especulaciones se intenta demostrar la existencia en dichas
medidas, de "números ocultos" como , Fi,
la cuadratura del círculo, etc. Como respuesta a estas teorías, la
egiptología científica ha intentado dar explicaciones lógicas, a
relaciones realmente inexistentes, proponiendo que el número
puede ser el resultado de medir distancias mediante "vueltas de
tambor".
En
el presente artículo vamos a mostrar que ambas ideas están equivocadas y
que jamás han existido tales misteriosas relaciones matemáticas en ninguna
de las pirámides egipcias, simplemente son el fruto del sistema de
medición egipcio.
Bases
arqueológicas: El Papiro de
Rhind
Fue escrito por el escriba
Ahmés aproximadamente en el 1650 a.C., a partir de escritos de 200 años de antigüedad,
según reivindica Ahmés al principio del texto, aunque nos resulta imposible
saber qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no.
Problema 48 del Papiro de
Rhind: Los verdaderos conocimientos egipcios sobre .
Como vemos en este
problema, sólo en el Segundo Periodo Intermedio o principios del Imperio
Nuevo, los egipcios llegaron a cierta aproximación a .
Enunciado: Comparar
el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.
Resolución: El
escriba considera un diámetro igual a 9 y calcula el área del círculo
como la de un cuadrado de lado 8 (como hace en el problema 50). Obtiene así
un valor de 64 setat.
Según se ve en la figura del
problema, en el cuadrado de 9 jet de lado
se dividen los lados en tres partes iguales formando luego un octógono. Ahmés elimina los triángulos formados en los vértices del cuadrado. El área
del octógono es A = 92 - 4 * (3*3)/2 = 63. Quizás Ahmés pensó
que el área del círculo circunscrito era algo mayor que la del octógono
representado y casi igual a la del cuadrado 8 x 8= 64 (en realidad es de
63'617). De donde se deduce que la aproximación a
teóricamente encontrada por los egipcios es de =
64/(9/2)^2=3.1605. Pero en ningún caso fue utilizada tal constante, sólo
la aproximación del área o perímetro de la circunferencia.
Por tanto y como se
demuestra en el Papiro de Rhind: los egipcios posiblemente no conocieron el
verdadero valor de = 3'1415927, durante la época
de las pirámides y seguramente tampoco una aproximación.
Problemas 56
- 60: Pendientes, alturas y bases de pirámides.
Problema 56 del Papiro de
Rhind:
Enunciado: ¿Cuál
es la inclinación de la cara (seked) de una pirámide de 250 codos
de altura y 360 codos de lado en la base?.
El seked
es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada.
Es la pendiente obtenida al poner verticalmente un codo y medir horizontalmente
en palmos y dedos.
1
codo = 7 palmos = 28 dedos.
22
dedos = 5 palmos y 2 dedos.
Resolución:
- Calcula 1/2 de 360 que da 180.
- Multiplica 250 hasta obtener 180, que da 1/2 + 1/5 + 1/50.
- Como un codo son 7 palmos se multiplica ahora 7 por 1/2 + 1/5 + 1/50 que da 5 +
1/25. Luego el seqed es 5 1/25 palmos por codo.
Problema 57 del Papiro de
Rhind:
Calcular la altura de una pirámide de 5 palmos y un dedo de seked
y 140 codos de base. El resultado obtenido es 93 1/3 codos de altura.
Problema 58 del Papiro de
Rhind:
Es lo inverso al 57. Partiendo de 140 codos de base y 93 1/3
codos de altura, se obtiene una "inclinación" (seked) de 5
palmos y 1 dedo por codo.
Como vemos en todos lo
problemas de resolución de pirámides, toman una base medida en un
número entero de codos, a partir de la altura hallan la pendiente o con la
pendiente, encuentran la altura. La pendiente o seked deseada, era
seguramente una constante seleccionada (en palmos y dedos), que daría como
resultado el perfil deseado para la pirámide.
El que unas pirámides se
aproximen más que otras a los resultados deseados, depende del celo puesto
en las mediciones realizadas.
|
Es lógico pensar que la
longitud del lado de la pirámide, era seleccionada en número entero de
codos reales y parece ser por las medidas encontradas, que en múltiplos de
5. Sería un poco extraño que que un rey deseara una pirámide de base
cuadrada de, por ejemplo, 162'343 codos de lado.
Para la confección de la
siguiente tabla, se ha utilizado el codo real con valor aproximado a 0'523
metros. Las constantes seleccionadas por el correspondiente soberano son el
lado y la pendiente (seked), aunque evidentemente también conocían
la altura resultante.
Pirámide |
Lado
(codos) |
Altura
(codos) |
Lado
(metros) |
Altura
(metros) |
Ángulo
(grados) |
Seked
(dedos) |
Palmos |
Dedos
|
Senuseret
II |
200 |
90,32 |
104,6 |
47,2387 |
42º5'21'' |
31 |
7 |
3 |
Seneferu |
420 |
196 |
219,66 |
102,508 |
43º1'30'' |
30 |
7 |
2 |
Amenemhat
III |
200 |
112 |
104,6 |
58,576 |
48º14'23'' |
25 |
6 |
1 |
Senuseret
I |
200 |
116,7 |
104,6 |
61,0167 |
49º23'55'' |
24 |
6 |
0 |
Menkaura |
200 |
121,7 |
104,6 |
63,6696 |
50º35'57'' |
23 |
5 |
3 |
Huni |
275 |
175 |
143,825 |
91,525 |
51º50'34'' |
22 |
5 |
2 |
Jufu
(Keops) |
440 |
280 |
230,12 |
146,44 |
51º50'34'' |
22 |
5 |
2 |
Niuserra |
150 |
95,45 |
78,45 |
49,9227 |
51º50'34'' |
22 |
5 |
2 |
Jafra
(Kefrén) |
410 |
273,3 |
214,43 |
142,953 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Merenra |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Isesi |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Pepi
I |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Teti |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Pepi
II |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Userkaf |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Neferirkara |
150 |
100 |
78,45 |
52,3 |
53º7'48'' |
21 |
5 |
1 |
Amenemhat
I |
160 |
112 |
83,68 |
58,576 |
54º27'44'' |
20 |
5 |
0 |
Unas |
110 |
81 |
57,53 |
42,3905 |
55º50'25'' |
19 |
4 |
3 |
Senuseret
III |
200 |
147,4 |
104,6 |
77,0737 |
55º50'25'' |
19 |
4 |
3 |
Amenemhat
III |
200 |
147,4 |
104,6 |
77,0737 |
55º50'25'' |
19 |
4 |
3 |
La tabla incluye las principales pirámides de
Egipto de base casi cuadrada y de altura aproximadamente
conocida (no incluimos inacabadas ni escalonadas, sólo pirámides que
llegaron a ser "perfectas"). Otra dificultad añadida es el tener
herramientas de medición totalmente exactas, cosa que también influye en
las posibles inexactitudes finales, pero en líneas generales los resultados
son bastante satisfactorios.
Conclusiones
- Entre las medidas Gran
Pirámide de Jnum-Jufuy (Keops, Queope, Jufu...) o en otras NO se encuentra los números ,
Fi o cualquier otra relación matemática incluidos de forma intencionada
y no disponibles en los pobres conocimientos matemáticos de los
egipcios de la época. Todo es fruto del parecido casual de la pendiente
elegida por Jufu para la construcción de la Gran Pirámide, 22 dedos por
codo (que tiene 28 dedos), y las mencionadas constantes matemáticas, ya que
(22/28)= 0'7857, /4=
0'7854 y Fi/2= 1'618/2 = 0'8, es decir, las constantes supuestamente
encontradas tienen valores muy cercanos a múltiplos del seked 22. Todos los demás parecidos
(bastante inexactos muchos de ellos) a relaciones matemáticas más
modernas, derivan de la comentada relación jugando arbitrariamente con los
números y no merece la pena pararnos más a tratarlas.
- La pendiente utilizada por
Jufu, también se usó en otras pirámides como en la de Huni (terminada por Seneferu) en
Meidum y después en la de Niuserra. Todo el que utilizase un seked de 5
palmos y 2 dedos por codo, obtendría idénticos resultados, sin embargo la
pendiente favorita en Egipto fue la de 5 palmos y 1 dedo, es decir, la
relación 28 dedos (un codo) por 21.
- Por los resultados obtenidos,
parece que la medida del codo que propuso Gardiner de 0'2529 es la más
aproximada a la utilizada en la época de las pirámides.
- Las mediciones mediante rodadura de elementos cilíndricos, arrojan múltiplos de
en las mismas, ya sea por medición directa o bien midiendo antes una cuerda
para aplicarla después en cualquier dirección: de haber utilizado ese sistema en todas las pirámides, el
número se encontraría por todas ellas y de forma
quizá más exacta de lo que se asemeja en las citadas.
- No se han encontrado
reflejados otros sistemas en ningún escrito egipcio, pero el cálculo
de pirámides mediante al relación seked sí está atestiguado en el
Papiro de Rhind. Así que pienso que no hay motivo para pensar que las
medidas de las pirámides, hayan sido calculadas de forma distinta a la
propuesta en el presente artículo.
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